3-1-3-2: 科学 (2024-01-17時点)

3-1-3-2: 科学

その後、複雑性理論の研究でも、数学の問題が原則として判定可能であるかもしれないが、そのような答えを得るための計算の複雑さが非常に大きいことが明らかになりました。

これにより、数学をすべて基本公理に簡約化するという夢は破れました。

🇹🇼邱奇の研究は、ある数学の問題が計算過程で「判定不可能」であることを証明しました。その後、複雑性理論の研究でも、数学の問題が原則として判定可能であるかもしれないが、そのような答えを得るための計算の複雑さが非常に大きいことが明らかになりました。これにより、数学をすべて基本公理に簡約化するという夢は破れました。

🇺🇸チャーチは、いくつかの数学の問題が「決定不能」であることを計算プロセスによって証明しました。その後の複雑性理論の研究により、数学の問題が原理的には決定可能であっても、その答えにたどり着く計算の複雑さはしばしば膨大であることが示されました。これにより、すべての数学を基本的な公理に基づく計算に還元するという夢は打ち砕かれました。

これは、いくつかの比較的単純な問題においても固有の存在です。おそらく最も有名な例は、二次多項式-反復応用に関連する複素数の振る舞いです。

このような反復的な振る舞いによって、豊かで複雑な形態的特徴が形成され、図1に示されています。これらの構造は、これらの数学的問題において「明らかに見える」解決策が、無限に複雑な詳細に依存していることを説明しており、私たちの感覚を目眩させるほど豊かです。

数学は主に現象を階層的に描写することではないが、上記の現象は20世紀の数学が単一の領域に崩壊せず、信じられないほど多様なサブ領域やサブサブ領域を展開していることを示している。

幾何学だけでも、位相幾何学から射影幾何学まで、数多くの重要なサブ領域があり、厳密ではないが相互に交差する要素を研究している。これらの要素はかつて単一で、高度に公理化され、大まかに閉じた現象の集合であった。

🇹🇼- **混沌：** これは、いくつかの比較的単純な問題においても固有の存在です。おそらく最も有名な例は、二次多項式-反復応用に関連する複素数の振る舞いです。このような反復的な振る舞いによって、豊かで複雑な形態的特徴が形成され、図1に示されています。これらの構造は、これらの数学的問題において「明らかに見える」解決策が、無限に複雑な詳細に依存していることを説明しており、私たちの感覚を目眩させるほど豊かです。

🇹🇼数学は主に現象を階層的に描写することではないが、上記の現象は20世紀の数学が単一の領域に崩壊せず、信じられないほど多様なサブ領域やサブサブ領域を展開していることを示している。幾何学だけでも、位相幾何学から射影幾何学まで、数多くの重要なサブ領域があり、厳密ではないが相互に交差する要素を研究している。これらの要素はかつて単一で、高度に公理化され、大まかに閉じた現象の集合であった。

🇺🇸カオスは、非常に単純な数学の問題にも内在することが証明されています。おそらく最も有名な例は、二次多項式の反復適用の複素数の振る舞いに関するものです。このような反復の振る舞いは、非常に複雑で豊かなパターンを形成することがわかり、それらを特徴づけることは「フラクタルアート」の源となっています（図1参照）。これらの構造は、明らかに「当然のこと」と思われる数学の問題の解さえも、無限に複雑な詳細に依存する可能性があることを示しており、その豊かさに私たちの感覚さえも魅了しています。

🇺🇸数学は主にスケールでよく説明される現象に関心を持っていませんが、上記の現象からは、単一の分野に収束するのではなく、20世紀の数学は信じられないほど多様なサブフィールドとサブサブフィールドに分岐し、さまざまな現象をカバーしていることが示唆されています。幾何学だけでも、位相から射影幾何学まで、かつては単一の、高度に公理的で主に閉じた現象の集合だったものの、根本的に異なる要素を研究しており、ほとんど交差しない要素が十数個あります。

これは数学の基本的な側面であり、数学的な対象間の関連性およびそれらの関係から生じる構造の研究に関わります。

数学では、異なる分野はしばしば相互に関連しており、ある分野の洞察は他の分野にも応用することができます。

例えば、代数構造は多くの数学の分野で広く存在しており、数学のトピック間の関係を表現し探索するための言語としても機能します。

さらに、位相学の研究は形状とその性質の関係を理解することに基づいています。

多様性と相互関連性の組み合わせは、現代数学の決定的な特徴かもしれません。

🇺🇸関係性は数学の基本的な側面であり、それは物体間の関係とそれらの関係から生じる構造の研究に関わります。数学では、異なる分野がしばしば相互に関連しており、ある分野からの洞察は別の分野に適用することができます。たとえば、代数的な構造は数学の多くの分野で普遍的であり、数学的な対象間の関係を表現し探求するための言語を提供します。さらに、位相学の研究は形状とその特性の関係を理解することに基づいています。多様性と相互関連性の組み合わせは、現代数学の特徴と言えるでしょう。

同様に、「因果関係」というのは純粋な数学的な理解方法ではありませんが、現代の理論の領域では、還元論に反対する方法が最も顕著な特徴の一つです。

つまり、見かけ上簡単な問題を公理に還元し、それらの公理を通じてすべてをフィルタリングするという方法です。

おそらく最も有名な例はフェルマーの最終定理です。この17世紀の数学者は、簡単な方程式に整数解が存在しないことを証明したと主張しました。

そして、これらの技術は他の目的のために開発されたものであり、明らかに17世紀の方法よりも先進的です。さらに、未解決の数学の問題にも同様の性質があると考えられており、リーマン予想などがその例です。

🇺🇸再び、「因果関係」という言葉は純粋な数学を理解するための正しい方法ではありませんが、この現代の分野の最も注目すべき特徴の一つは、見かけ上単純な問題が公理に還元され、すべてがそれを通じてフィルタリングされる還元主義的なアプローチに対する反対です。おそらく最も有名な例は、フェルマーの最終定理です。17世紀の数学者が、単純な方程式には整数解が存在しないことを証明したと主張しました。1990年代にアンドリュー・ワイルズによって証明された最終的な証明は、その主張自体よりもはるかに高度な他の目的のために開発されたさまざまな技術（特に「楕円曲線」と呼ばれるもの）を含んでいます。同様のことが、リーマン予想などの他の未解決の数学の問題にも当てはまると信じられています。

上述の純粋な数学のあらゆる進歩は、好奇心のパズルと思考のおもちゃから生まれています。

これらの深遠な思考の動きは、現代技術の発展に貢献しています。

ワイルズの証明の中心である楕円曲線は、実際の操作の複雑さから、公開鍵暗号化の先進技術の基礎となりました。

他の高度な数学の分野も、電子回路設計、医学画像解析、土木工学、航空工学などの分野の中心となっています。

これらの応用は、異なる数学の分野から偶然に交差したものであり、ヒルベルト、ラッセル、ヴァイハイデの夢見た統一論ではありません。

🇺🇸多くの純粋数学の進歩は、好奇心のパズルや心のおもちゃのままです。しかし、これらの見かけ上難解なアイデアの多くは、現代の技術の変革に役立っています。ワイルズの証明の中心となった楕円曲線は、特定の問題の解に関する解決の困難さを考慮して、公開鍵暗号の主要なアプローチの基礎となっています。他の高度な数学は、コンピュータ回路の設計、医療画像解析、土木および航空工学などにおいて、中核となる役割を果たしています。これらの応用は、ヒルベルト、ラッセル、ホワイトヘッドがかつて夢見た一体化された理論ではなく、異なる数学の分野に依存しています。

要するに、一元論的な原子の視点とは対照的に、20世紀においては、科学技術の構築はその多様性に基づいていました。

知識領域の増加と形成により、各領域内の視点はフラクタルのように反映され、それぞれ独自の特徴を持っていました。

各領域を探求するほど、その複雑さが明らかになります。

驚くべきつながりや関係が次々と現れ、複雑さが増し、"統一"を暗示するのではなく、拡大されていきました。

🇺🇸簡単に言えば、単一主義の原子主義のビジョンとは対照的に、20世紀に築かれた世界を定義する科学と技術は、その多様性から生まれました。知識の領域が増殖し、分化し、各領域が内部的にフラクタルのように同じ豊かさを反映していました。各分野をより詳しく調べるほど、より複雑さが明らかになりました。驚くべきつながりや関係が浮かび上がってきましたが、「統一」を意味するのではなく、むしろ複雑さを増すだけです。

各層次の相互作用の構造とさまざまな認知的視点の説明は、進歩にとって非常に重要です：

核爆弾は人間社会を再構築し、環境変動を引き起こし、気候を再構築し、人間の心理を歪め、それによって計算システムの設計に導入し、病気の治療にも役立ちます。

🇺🇸あらゆるレベルの交差するスケールでの構造は、あらゆる知識の視点から説明され、進歩に重要な役割を果たしてきました。核爆弾は人間社会を再構築し、環境の変化を引き起こし、天候を変え、人間の心理を歪め、病気の治療に役立つ計算システムの設計にも影響を与えます。